Σάββατο, 5 Νοεμβρίου 2016

(2) Ο νότιος πόλος στο Βορρά ( Χανιά - Καρδίτσα ) - mathematica.gr

(2) Ο νότιος πόλος στο Βορρά ( Χανιά - Καρδίτσα ) - mathematica.gr



 





Ο  νότιος  πόλος στο  βαρρά.png
Ο νότιος πόλος στο βαρρά.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές
Μια άσκηση αφιερωμένη στους - σίγουρα - ταλαιπωρημένους συνέδρους των Χανίων :

Διπλώνουμε ένα κύκλο με τσάκιση χορδή AB , η οποία έχει τη διεύθυνση ανατολής - δύσης

κι έτσι ο νότιος πόλος S , μετακομίζει στη θέση S' . Η εφαπτομένη του "διπλωμένου" τόξου

στο B , τέμνει τον κύκλο στο T . Πως θα επιλέξουμε τη χορδή AB, ώστε : S'T \parallel AB ;

Σημαντική βοήθεια : Θεωρήστε ότι ο κύκλος έχει ακτίνα R=3 :lol:

(2) Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων - mathematica.gr

(2) Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων - mathematica.gr



dimplak έγραψε:1.



\begin{cases} x + \frac{3x - y}{x^2 +y^2} = 3 \\ y - \frac{x + 3y}{x^2 +y^2} = 0 \end{cases}




Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη επί \displaystyle{i} και προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη, οπότε προκύπτει



\displaystyle{x+yi+\frac{(3-i)(x-yi)}{x^2+y^2}=3\iff z+(3-i)\frac{1}{z}=3\iff z^2-3z+3-i=0.}



Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε \displaystyle{z=1-i\vee z=2+i,} άρα οι λύσεις του συστήματος είναι οι \displaystyle{(1,-1),(2,1).}




Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:




dimplak
Δημοσιεύσεις: 463
Εγγραφή: 27 Ιαν 2009, 17:24
Επικοινωνία:

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

matha έγραψε:

dimplak έγραψε:1.



\begin{cases} x + \frac{3x - y}{x^2 +y^2} = 3 \\ y - \frac{x + 3y}{x^2 +y^2} = 0 \end{cases}




Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη επί \displaystyle{i} και προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη, οπότε προκύπτει



\displaystyle{x+yi+\frac{(3-i)(x-yi)}{x^2+y^2}=3\iff z+(3-i)\frac{1}{z}=3\iff z^2-3z+3-i=0.}



Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε \displaystyle{z=1-i\vee z=2+i,} άρα οι λύσεις του συστήματος είναι οι \displaystyle{(1,-1),(2,1).}






Άλλη μία λύση ώστε να θεωρηθεί εντός ύλης Β΄ Λυκείου



Θέτουμε \begin{cases} x = r cosa  \\  y = r sina \end{cases} οπότε \begin{cases} x^2 = r^2  cos^2 a  \\  y^2 = r^2  sin^2 a \end{cases} και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι x^2 + y^2 = r^2 (cos^2 a + sin^2 a) = r^2 . Τότε με αντικατάσταση στο αρχικό σύστημα και λύνοντας ως προς cosa και sina προκύπτει ότι \begin{cases} cosa = \frac{3r (r^2 - 3)}{r^4 - 10} \\ sina = \frac{3r}{r^4 - 10}   \end{cases} . Συνεπώς , λόγω της τριγωνομετρικής ταυτότητας cos^2 a + sin^2 a = 1 προκύπτει ότι



(\frac{3r (r^2 - 3)}{r^4 - 10})^2 + ( \frac{3r}{r^4 - 10} )^2 = 1 και με πράξεις καταλήγουμε στο (r^2 - 2) (r^2 - 5 ) (r^4 - 2r^2 + 10) = 0 οπότε r^2 = 2 ή r^2 = 5. 'Αρα με αντικατάσταση προκύπτει ότι



\begin{cases} x =  2  \\  y = 1 \end{cases} ή \begin{cases} x = 1  \\  y = -1 \end{cases} .





STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: 05 Οκτ 2011, 18:08
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

dimplak έγραψε:14.

Προσθέτουμε τις εξισώσεις :

\begin{cases}  xy + yz = 8  \\  yz + zx = 9  \\  zx + xy = 5  \end{cases}.




xy+yz+zx=11 ,(*), zx=3,(1), xy=2,(2), yz=6,(3), (1),(2),(3)\Rightarrow x^{2}y^{2}z^{2}=36\Leftrightarrow xyz=6,xyz=-6, (x,y,z)=(1,2,3),(x,y,z)=(-1,-2,-3)



Γιάννης




α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.

β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 463
Εγγραφή: 27 Ιαν 2009, 17:24
Επικοινωνία:

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

dimplak έγραψε:15.



\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt{y} = 5  \\  \sqrt[3]{y} + \sqrt{x} = 9  \end{cases}.




Θέτω x = t^6 και y = p^6 οπότε το σύστημα γίνεται \begin{cases} t^2 + p^3 = 5  \\  p^2 + t^3 = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p^3 = 5 - t^2  \\  p^2 = 9 - t^3 \end{cases} Επειδή ισχύει t , p \ge 0 έχουμε (p^3)^2 = (p^2)^3 \Leftrightarrow (5 - t^2)^2 = (9 - t^3)^3. Παρατηρούμε ότι το t = 2 επαληθεύει την προηγούμενη εξίσωση . Οπότε τη μετασχηματίζουμε σε t^9 - 27 t^6 + t^4 + 243 t^3 - 10 t^2 - 704 = 0 και με τη βοήθεια του σχήματος Horner την για \rho = 2 την παραγοντοποιούμε σε (t -2) (t^8 + 2 t^7 + 4 t^6 - 19 t^5 - 38 t^4 - 75 t^3 + 93 t^2 + 176 t + 352) = 0 . Το πολυώνυμο 8ου βαθμού αποδεικνύεται ότι είναι θετικό. Άρα t = 2 οπότε x = t^6 = 2^6 = 64 και p^2 = 9 - t^3 = 9 - 2^3 = 1 άρα y = p^6 = (p^2)^3 = 1^3 = 1.





Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1320
Εγγραφή: 21 Δεκ 2008, 00:13
Επικοινωνία:

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Δύο συστήματα από πολύ παλιά! (Ξεφυλλίζοντας
πρόσφατα, μετά από ...δεκαετίες, βιβλία που είχα σαν υποψήφιος-τα είχαν
και οι περισσότεροι συνυποψήφιοι-, είναι απίστευτα πολλά τα λάθη που
συνάντησα σε λύσεις ασκήσεων - και τότε δεν είχα καταλάβει τίποτε-.
Μεταξύ αυτών είναι τα δύο συστήματα που παραθέτω. Το εντυπωσιακό είναι
ότι το δεύτερο σύστημα είχε δοθεί στην Σχολή Ικάρων. Επομένως η λύση του
θα έπρεπε να είχε συζητηθεί εκτενώς, όμως, το βιβλίο έχει εσφαλμένα
αποτελέσματα!)



20. \left\{\begin{matrix}
x^2+y^2-zx-zy=2x+y\\ y^2+z^2-xy-xz=y+3z
\\ z^2+x^2-yz-yx=3z+2x

\end{matrix}\right.



21. \left\{\begin{matrix}
x+y-3z=0\\ x^2+y^2-5z^2=0
\\ xyz=16

\end{matrix}\right.




Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν

Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.

...

Ρεκούμης Κωνσταντίνος


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: 05 Οκτ 2011, 18:08
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

dimplak έγραψε:22.



\begin{cases} x^2 + y^2 + xy + 1 = 4y  \\ (x^2 + 1)(2-x) = x^2 y  \end{cases}


x^{2}+y^{2}+xy+1=4y,(1), (x^{2}+1)(2-x)=yx^{2}\Leftrightarrow y=\dfrac{(x^{2}+1)(2-x)}{x^{2}},(2), (1),(2)\Rightarrow x^{2}+1+\dfrac{(x^{2}+1)(2-x)}{x^{2}}.\dfrac{(x^{2}+1)(2-x)+x^{2}(x-4)}{x^{2}}=0\Leftrightarrow x^{3}+2x^{3}-3x^{2}-4x+4=0

Η τελευταία εξίσωση έχει δυο διπλες ρίζες x=1,x=-2

Τελικά (x,y)=(1,2), (x,y)=(-2,5)

Για x=0 είναι αδύνατη







Γιάννης




α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.

β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 463
Εγγραφή: 27 Ιαν 2009, 17:24
Επικοινωνία:

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Καλησπέρα, Γιάννη!



Σωστές οι λύσεις , κι εγώ με παρόμοιο τρόπο - αντικατάσταση - το έλυσα!





24.



\begin{cases} 2x^3 - 3 + 2 \sqrt{y^2 + 3y} = 2x \sqrt{y} + y  \\  x^2 - \sqrt{y + 3} + \sqrt{y}  = 0 \end{cases}




Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1523
Εγγραφή: 13 Σεπ 2010, 18:49
Επικοινωνία:

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

26.

\displaystyle{\left\{\begin{matrix}
x^3+y^3=27\\
27x^3+6y^2x=2+y^3+30x^2y\\
x,y \in \mathbb{R}\\ 

\end{matrix}\right.}



27.



\displaystyle{\left\{\begin{matrix}
(2x+2)\sqrt{2x-1}=y^3+3y\\ 
y^2-xy+5=5x-6y\\ 
x,y \in \mathbb{R}\\
\end{matrix}\right.}






#μη γραμμικά συστήματα